DEMO Trouver-un-vecteur-normal-à-une-droite-définie-par-une-équation-cartésienne

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Trouver un vecteur normal à une
droite définie par une équation
cartésienne.
Soit (d) la droite définie par l’équation y =

2
5x

+

4
3

dans

un repère orthonormé.
Détermine les coordonnées d’un vecteur normal à (d).

Etape 1 : Remettre l’équation réduite sous la
forme ax + by + c = 0
Le cours nous donne un résultat pratique pour trouver
un vecteur normal à partir d’une équation cartésienne
de droite, mais seulement si celle-ci est sous la forme
ax + by + c = 0.
L’équation de (d) étant donnée sous forme réduite,
il faut la remettre sous la bonne forme.
Il est conseillé de commencer par supprimer les
fractions en multipliant à droite et à gauche
par le PPCM (plus petit commun multiple) des
dénominateurs, ici : 3 × 5 = 15. 
• y = 25 x +

4
3

⇔ 15y = 15 × 25 x + 15 ×

4
3

• ⇔ 15y = 3 × 2x + 5 × 4
• ⇔ 15y = 6x + 20

Cette étape n’est pas obligatoire, mais elle permet
d’obtenir un vecteur normal avec des coordonnées
entières au lieu de fractions.
Il ne reste alors plus qu’à faire tout passer du même
côté, et on a l’équation sous la bonne forme :
• 15y = 6x + 20 ⇔ 6x − 15y + 20 = 0
La droite (d) admet donc pour équation cartésienne 6x−
15y + 20 = 0.

Etape 2 : Déterminer les coordonnées du
vecteur
Le cours nous dit alors que le vecteur ⃗n(a; b) soit ici 
⃗n(6; −15)  est un vecteur normal de la droite (d).