DEMO Reconnaître-une-équation-de-cercle-et-en-déterminer-les-caractéristiques

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Reconnaître une équation de cercle
et en déterminer les
caractéristiques.
Soit E l’ensemble des points M (x, y) du plan muni d’un
repère orthonormé tels que 2×2 + 2y 2 − 8x + 12y − 24 = 0.
Détermine la nature et les caractéristiques de cet
ensemble.

Etape 1 : Mettre au point une stratégie
Une équation du second degré à deux inconnues doit
tout de suite te faire penser à une équation de cercle.
Vérifie bien que les coefficients des termes en x2 et y 2
soient égaux.
C’est le cas ici, nous allons donc tenter de nous ramener
à une équation de la forme (x − xo )2 + (y − yo )2 = R2 de
façon d’une part à pouvoir affirmer qu’il s’agit bien d’un
cercle, et d’autre part en identifier le centre et le rayon.

Etape 2 :

Ramener les coefficients des

termes carrés à l’unité
En divisant des deux côtés par 2, le coefficient des termes
carrés, on obtient :
• 2×2 +2y 2 −8x+12y −24 = 0 ⇔ x2 +y 2 −4x+6y −12 = 0

Etape 3 :

Passer à la forme canonique

artificiellement
Il nous faut faire apparaître les termes (x−xo )2 et (y −yo )2 ,
et disparaître les termes en x ou y. On utilise pour cela
le passage à la forme canonique :
• x2 − 4x = (x − 2)2 − 4
• y 2 + 6y = (y + 3)2 − 9
Pour rappel, la méthode est la suivante :

• je prends pour a la moitié du coefficient devant x
(j’ai ainsi le début de l’identité remarquable (x +
a)2 = x2 + 2ax + a2 ),
• j’inscris (x + a)2 ,
• je retire a2 qui manquait à l’origine.
D’où, en reportant dans l’équation :
• x2 +y 2 −4x+6y−12 = 0 ⇔ (x−2)2 −4+(y+3)2 −9−12 =
0

Etape 4 : Réorganiser et conclure
Il s’agit alors de réorganiser les termes pour pouvoir les
identifier un à un avec la forme de l’équation donnée
dans le cours.
• (x−2)2 −4+(y+3)2 −9−12 = 0 ⇔ (x−2)2 +(y−(−3))2 =
12 + 4 + 9 = 25 = 52
Ainsi, nous avons prouvé qu’une autre équation de E est
:
• (x − 2)2 + (y − (−3))2 = 52
On en déduit que E est le cercle de centre Ω(2, −3), et
de rayon R = 5.