DEMO Déterminer-une-équation-de-cercle-défini-par-un-diamètre

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Déterminer une équation de cercle
défini par un diamètre.
Soient deux points du plan muni d’un repère
orthonormé : A(−1, 2), et B(1, 1).
Soit C le cercle de diamètre [AB].
Détermine une équation du cercle C.

Etape 1 : Définir la stratégie
Le cours nous indique que dans le cas d’un cercle défini
par un diamètre, il faut utiliser le fait que :
• M (x, y) ∈ C ⇔ M⃗A · M⃗B = 0
En effet, [AB] étant un diamètre du cercle, si M est sur
celui-ci, le triangle ABM est alors rectangle en M, d’où
la nullité du produit scalaire ci-dessus.
Nous allons donc nous appuyer sur cette propriété„
et la transformer grâce à une expression adéquate du
produit scalaire, ce qui nous permettra de trouver une
équation du cercle.

Etape 2 : Utiliser l’expression du produit
scalaire adéquate
Nous sommes dans un repère orthonormé, on cherche
une équation cartésienne, on va forcément utiliser
l’expression analytique du produit scalaire :
• M⃗A · M⃗B = xM⃗A xM⃗B + yM⃗A yM⃗B
Or :
• xM⃗A = xA − x
• xM⃗B = xB − x
• yM⃗A = yA − y
• yM⃗B = yB − y
D’où, en remplaçant :
• M⃗A · M⃗B = (xA − x)(xB − x) + (yA − y)(yB − y)

Etape 3 :

Remplacer par les valeurs et

simplifier
• M⃗A · M⃗B = (−1 − x)(1 − x) + (2 − y)(1 − y)
• M⃗A · M⃗B = −1 + x − x + x2 + 2 − 2y − y + y 2
• M⃗A · M⃗B = x2 + y 2 − 3y + 1

Etape 4 : Conclure
On a alors :
• M (x, y) ∈ C ⇔ M⃗A · M⃗B = 0
• ⇔ x2 + y 2 − 3y + 1 = 0
x2 + y 2 − 3y + 1 = 0 est donc une équation de notre cercle
définit par son diamètre |AB].

Etape 5 : Bonus
Pour t’entraîner, tu peux ramener cette équation sous la
forme canonique (voir exercice précédent), et retrouver
les caractéristiques du cercle.

Tu devrais tomber sur

Ω(0; 1, 5) pour le centre (milieu de [AB]), et R =
pour le rayon.

AB
2

=

5
2