DEMO Démontrer-une-orthogonalité

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Démontrer une orthogonalité.
Soient A(−3; 0), B(3; −2), C(−2; −4), et D(−1; −1) 4 points
du plan rapporté à un repère orthonormé.
Montre que (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Etape 1 : Traduire l’énoncer pour mettre au
point la stratégie
Il faut que ce soit un réflexe :

dans un contexte

comme celui-ci faisant intervenir des points avec des
coordonnées exprimées dans un repère orthonormé,
montrer une perpendicularité revient à montrer qu’un
produit scalaire de deux vecteurs est nul. 
⃗ · CD
⃗ = 0.
• On veut donc montrer que AB
• On a les coordonnées des points exprimées dans
un repère orthonormé, on va calculer le produit
scalaire à partir de son expression analytique.

Etape 2 :

Calculer les coordonnées des

vecteurs
• xAB
⃗ = xB − xA = 3 − (−3) = 6
• yAB
⃗ = yB − yA = −2 − 0 = −2
• xCD
⃗ = xD − xC = −1 − (−2) = 1
• yCD
⃗ = yD − yC = −1 − (−4) = 3

Etape 3 : Calculer le produit scalaire
Selon l’expression analytique du produit scalaire, on a :
⃗ · CD
⃗ =x ⃗ ·x ⃗ +y ⃗ ·y ⃗
• AB
AB
CD
AB
CD
D’où, en remplaçant :
⃗ · CD
⃗ = 6 × 1 + (−2) × 3 = 6 − 6 = 0
• AB

Etape 4 : Conclure
⃗ · CD
⃗ = 0, ce qui équivaut
• On a prouvé que AB
⃗ et CD
⃗ sont
à prouver que les vecteurs AB
orthogonaux.
• Ces vecteurs étant respectivement des vecteurs
directeurs des droites (AB) et (CD), on a par
conséquent (AB) et (CD) perpendiculaires.