DEMO Démontrer-un-résultat-à-l’aide-des-propriétés-du-produit-scalaire

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Démontrer un résultat à l’aide des
propriétés du produit scalaire.
Soit un triangle ABC.
⃗ · AC
⃗ = AB 2 + AB
⃗ · BC.

Montre que AB

Etape 1 : Réfléchir à une stratégie
Il te faut bien observer le résultat que l’on te demande
de prouver.

Ici, on voit que l’on fait apparaître

beaucoup de B entre la gauche et la droite de

l’équation, et on fait disparaître le vecteur AC.
Le principe va donc être le suivant : on va séparer en
⃗ en utilisant la relation de Chasles,
deux le vecteur AC
puis on va tenter de se reporter au bon résultat en
appliquant les propriétés du produit scalaire.
La majorité des questions de ce type reposent sur
l’utilisation bien pensée de la relation vectorielle de
Chasles.

Etape 2 : Utiliser Chasles
D’après la relation de Chasles, on a :
⃗ · AC
⃗ = AB
⃗ · (AB
⃗ + BC)

• AB

Etape 3 : Simplifier avec les propriétés du
produit scalaire de manière à retomber sur le
bon résultat
La distributivité du produit scalaire nous donne :
⃗ · (AB
⃗ + BC)
⃗ = AB
⃗ · AB
⃗ + AB
⃗ · BC

• AB
Sachant alors que le carré scalaire est égal au carré de la
norme d’un vecteur, on obtient :
⃗ · (AB
⃗ + BC)
⃗ = ||AB||
⃗ 2 +AB
⃗ · BC

• AB
Soit, plus simplement :
⃗ · (AB
⃗ + BC)
⃗ = AB 2 + AB
⃗ · BC

• AB

Etape 4 : Conclure
On a ainsi prouvé que :
⃗ · AC
⃗ = AB 2 + AB
⃗ · BC

• AB

Etape 5 : Pour aller plus loin…
En général, ce type de question intervient en début
d’exercice, et vise à te donner les outils pour pouvoir
calculer un produit scalaire.
Par exemple ici, si tu connaissais les longueurs
des trois côtés du triangle, tu n’aurais pas pu calculer
⃗ · AC
⃗ car il t’aurait manqué la
le produit scalaire AB
⃗ + AC||.

valeur de ||AB
Par contre, tu pourrais maintenant le calculer grâce
à la relation que l’on a prouvé : il te suffirait de
⃗ · BC.

calculer le produit scalaire AB

Celui-ci serait

possible à calculer puisque tu connaîtrais alors
⃗ + BC||=


||AB
||AC||.
⃗ · AC

Pour t’entraîner, calcule de cette manière AB
sachant que AB = 2, BC = 3, et AC=6.
Tu dois trouver 15, 5.