NOTION Schéma-de-Bernoulli-loi-binomiale

Le 20-03-2019

Probabilités

et

échantillonnage

Expérience répétée à l’identique
Schéma de Bernoulli, loi binomiale
Définition
Coefficient binomial
Le coefficient binomial

(n)
k

, où 0 ≤ k

≤ n,

est le nombre de situations qui comportent
exactement k succès, lors de n répétitions à
l’identique et de manière indépendante d’une
expérience aléatoire à deux issues.
Exemple
Si on lance une pièce 3 fois, les situations qui
comportent exactement une fois pile sont les
suivantes :
Situation

 

Lancer n°1

Lancer n°2

Lancer n°3

1

Pile

Face

Face

2

Face

Pile

Face

Face

Face

Pile

3
Il y en a donc 3. Ainsi,

( )
3
1

= 3.

Propriété
Relation sur les coefficients binomiaux
Pour tout entier naturel n, et k variant de 0 à n − 1,
on a :
( ) ( n ) (n+1)
• nk + k+1
= k+1 ;

(n)
k

=

(

n
n−k

)

Remarque
Ces propriétés permettent de construire le
« triangle de Pascal » : il s’agit de placer dans un
tableau les coefficients binomiaux de sorte qu’à
la n-ième ligne et k-ième colonne se trouve le
( )
coefficient nk . On peut obtenir très facilement la
valeur de la case (n + 1; k + 1) en sommant celles
des cases (n, k) et (n; k + 1) de la ligne n (d’après
la propriété précédente). On remplit ainsi petit à
petit les cases du tableau en partant des valeurs
initiales.
Définition
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est
une expérience aléatoire définie par la répétition
n fois d’une épreuve de Bernoulli dont le succès
a pour probabilité p, de manière indépendante et
identique.

Définition
Loi binomiale
Un variable aléatoire X suit une loi binomiale de
paramètres n et p, notée B(n; p), si X prend ses
valeurs dans l’ensemble {0, · · · , n} et si :
( )
• P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k ;
• pour k compris entre 0 et n.
Remarque
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et
p, la variable aléatoire X qui compte le nombre de
succès suit une loi binomiale de paramètres n et
p.
Propriété
Espérance et variance pour la loi binomiale
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
binomiale B(n; p).
• E(X) = np
• V (X) = np(1 − p)
Exemple
Un casino propose un jeu d’argent qui se
décompose en trois manches. Chaque manche
consiste à piocher aléatoirement une carte dans
un jeu de 10 cartes numérotées de 1 à 10. Le joueur
remporte la manche s’il pioche la carte 1. Les
cartes sont mélangées entre chaque manche.
• Ce jeu est un schéma de Bernoulli (car on
répète plusieurs fois la même expérience à
l’identique et de manière indépendante, car
les cartes sont mélangées).
• Le nombre de répétitions est n = 3 ; la
probabilité de succès est p =

1
10

(car le joueur

pioche une carte parmi 10, de manière
aléatoire donc équiprobable).
• La variable X qui compte le nombre de
succès suit donc une loi binomiale de
paramètres n = 3 et p =

1
10 .

• L’espérance du nombre de succès est donc :
E(X) = 3 ×

1
10

=

3
10 .