NOTION Espérance-variance-écart-type

Le 20-03-2019

Probabilités

et

échantillonnage

Variable aléatoire
Espérance, variance, écart-type
Définition
Espérance d’une variable aléatoire
L’espérance d’une variable X pouvant prendre les
différentes valeurs x1 ; · · · ; xm , est le réel :
• E(X) = x1 P (X = x1 ) + · · · + xm P (X = xm )
Remarque
E(X) est la moyenne des valeurs possibles de la
variable aléatoire, pondérée par les probabilités.
Il s’agit de la valeur que X prend en moyenne
lorsque l’expérience est répétée un grand nombre
de fois.
Exemple
Si on reprend l’exemple du dé équilibré auquel on
associe un nombre de points (2 points si la face est
paire,0 si elle est impaire), on a calculé :
• P (X = 2) = P (X = 0) = 12 .
• Donc E(X) = 2 × P (X = 2) + 0 × P (X = 0) =

1
2

= 1.

Cette valeur correspond bien à l’idée d’une
moyenne des points obtenus lorsque l’on répète
le lancé un grand nombre de fois : en effet,
comme on a autant de chance d’obtenir 2 points
que 0, en moyenne sur un grand nombre de
lancés le nombre de points gagnés est 1.
Propriété
Linéarité de l’espérance
Soient X une variable aléatoire, a, b deux réels.
• E(aX + b) = aE(X) + b
Définition
Variance d’une variable aléatoire
La variance d’une variable aléatoire X est :
• V (X) = E[(X − E(X))2 ] = (x1 − E(X))2 P (X =
x1 ) + · · · + (xm − E(X))2 P (X = xm )
Remarque
La variance permet de mesurer la moyenne des
carrés des écarts à l’espérance de la variable X.
Elle indique donc comment les valeurs de X
sont réparties autour de E(X), en prenant aussi
en compte la loi de probabilité de la variable
aléatoire.
Exemple
Pour un dé équilibré à six faces en reprenant
la

même

variable

aléatoire

des

exemples

précédents, l’espérance vaut :
• E(X) = 1.
• Donc la variance se calcule selon : V (X) =
(2 − E(X))2 P (X = 2) + (0 − E(X))2 P (X = 0) =
(2 − 1)2 12 + (0 − 1)2 12 = 1
Propriété
Formule pour la variance d’une variable
aléatoire
Soit X une variable aléatoire.
• V (X) = E[X 2 ] − E[X]2
Remarque
Dans cette formule, il est nécessaire de calculer
E[X 2 ]. Pour y parvenir, définir la nouvelle variable
aléatoire Y = X 2 puis calculer E[Y ] à l’aide de la
formule définissant l’espérance, donnée un peu
plus haut.
Propriété
Variance et opération affine sur une variable
aléatoire
Soient X une variable aléatoire, a, b deux réels.
• V (aX + b) = a2 V (X)
Définition
Écart-type d’une variable aléatoire
L’écart-type d’une variable aléatoire est :

• σ(X) = V (X)
Exemple
L’expérience précédente a pour variance V (X) = 1
donc σ(X) = 1.