NOTION Discriminant-sommet-et-forme-canonique

Le 20-03-2019

Polynôme du second degré

Discriminant, sommet et forme
canonique
Remarque
L’étude des polynômes n’est pas une discipline
récente

des

mathématiques

mathématicien

grec

:

Diophante

déjà
(IIe

le

siècle

avant J.-C.) s’intéressait à l’étude d’équations
polynomiales quadratiques ; puis Al-Khwarizmi
(IXe siècle) en donne une méthode de résolution.
Une question fondamentale en algèbre est
de savoir si une équation polynomiale admet
toujours une solution. Un théorème très célèbre,
le théorème de d’Alembert-Gauss, répond à
cette question par l’affirmative, à condition de
considérer les solutions dans un ensemble plus
grand que R, les nombres complexes.

Mais

peut-on toujours calculer ces solutions à l’aide
d’opérations simples (on parle de résolution « par
radicaux ») ? Des méthodes de résolution existent
pour les équations de degré 2 (vues dans ce
cours), de degré 3 (méthode de Cardan-Tartaglia),
ou de degré 4 (méthode de Ferrari). Mais cela
est impossible en général pour les équations de
degré au moins 5. Ce résultat a été prouvé en
partie par Abel puis généralisé par Galois au XIXe
siècle. Un exemple d’équation de degré 5 non
résoluble par radicaux est x5 − 3x − 1 = 0.
Rappel
Une fonction affine est une fonction définie sur
R qui est de la forme f (x) = ax + b où a et b sont
des réels. 
• Sa courbe représentative dans un repère du
plan est une droite qui passe par l’origine si
b = 0 (la fonction est alors linéaire) et qui
passe par le point de coordonnées (0 ; b).
• Elle est horizontale dans le cas particulier où
a = 0. Le nombre a représente le coefficient
directeur de cette droite, et b l’ordonnée à
l’origine.

Définition
Polynôme du second degré
Les polynômes du second degré (ou « trinômes du
second degré ») sont des fonctions qui s’écrivent
sous la forme :
• P (x) = ax2 + bx + c
avec a, b, c réels, a ̸= 0.
Exemple
• x2 + 3x − 1 et x2 sont des polynômes du
second degré.
• De même, (x − 4)(x − 1) et (x − 1)2 sont
des polynômes du second degré.

Il est

en effet facile de calculer leur degré en
utilisant la formule du degré d’un produit de
polynômes.
Définition
Discriminant
Étant donné un polynôme du second degré écrit
sous la forme P (x) = ax2 + bx + c (avec a ̸= 0), on
appelle discriminant de P le nombre réel :
• ∆ = b2 − 4ac
Exemple
• P (x) = x2 + 3x + 1 a pour discriminant ∆ =
32 − 4 × 1 × 1 = 5.
• P (x) = x2 + 1 a pour discriminant ∆ = 02 −
4 × 1 × 1 = −4.
Propriété
Mise sous forme canonique
Un polynôme du second degré P peut s’écrire
sous la forme particulière suivante, appelée forme
canonique de P :
• P (x) = a[(x − xs )2 −


4a2 ]

où :
• a est le coefficient du monôme de degré 2.
b
• xs = − 2a

• ∆ est le discriminant de P.
Exemple
• P (x) = x2 + 3x + 1 peut s’écrire sous la forme
(
)2
P (x) = x + 32 − 52 (reprendre les valeurs de
xs et ∆ calculées précédemment).
• P (x) = x2 + 1 est déjà écrit sous forme
canonique (reprendre les valeurs de xs et ∆
calculées précédemment).
Propriété
Représentation graphique et sommet
La courbe représentative d’un polynôme du
second degré P (x) = ax2 + bx + c (avec a ̸= 0)
est une parabole, dont le sommet S est atteint
en x = xs avec :
b
• xs = − 2a

Autrement dit, le sommet S de la parabole est le
point de coordonnées S (xs , ; (xs ))

Exemple
• La courbe représentative de P (x) = x2 +3x+1
est une parabole qui atteint son sommet en
3
x = xs = − 2×1
= − 32 .

• La courbe représentative de P (x) = x2 + 1 est
une parabole qui atteint son sommet en x =
0
xs = − 2×1
= 0.

Propriété
Symétrie axiale de la courbe représentative
d’un polynôme du second degré
La courbe représentative d’un polynôme du
second degré P (x) = ax2 + bx + c (avec a ̸= 0)
est symétrique par rapport à la droite d’équation
b
x = − 2a
.