DEMO Résoudre-une-équation-bicarrée

Le 20-03-2019

Polynôme du second degré

Résoudre une équation bicarrée
Une équation bicarrée est une équation du type ax4 +
bx2 + c = 0.
Résous 3×4 − 5×2 + 1 = 0.

Etape 1 : Changement de variable
On pose y = x2 :
• cela entraîne que le signe de y est positif, et que
3×4 − 5×2 + 1 = 3(x2 )2 − 5×2 + 1 = 3y 2 − 5y + 1 ; 
• on se ramène alors à la résolution de l’équation du
second degré 3y 2 − 5y + 1 = 0.

Etape 2 : Résolution de l’équation du second
degré
Pour résoudre 3y 2 − 5y + 1 = 0, on applique la méthode
de résolution pour les équations du second degré et on
trouve deux racines distinctes :
• w1 =


5− 13
6

• et w2 =

;


5+ 13
.
6

Etape 3 : Calcul des solutions de l’équation
bicarrée
On envisage deux cas : y = w1 ou y = w2 .
• Cas n°1 : y = w1
Or x2 = y donc x2 = w1 =


5− 13
.
6

Pour trouver x, il suffit donc de résoudre l’équation x2 =

5− 13
.
6

On constate que


5− 13
6

> 0 et donc que l’on peut

appliquer la fonction racine carré à l’égalité. On trouve
(attention au signe !) :
√ √
√ √
• x = − 5−6 13 ou x = 5−6 13
 
• Cas n°2 : y = w2
On applique la même méthode que le cas n°1, en faisant
bien attention au fait que


5+ 13
6

> 0 pour pouvoir

appliquer la fonction racine carré. On trouve que les
solutions dans ce cas sont :
√ √
√ √
• x = − 5+6 13 ou x = 5+6 13
 
• Conclusion :
          Le racines de P sont donc :
√ √
√ √
√ √
√ √
• − 5+6 13 , − 5−6 13 ,  5−6 13   et  5+6 13