1°S – CHAP 02 – FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE – 1cours

Le 20-03-2019

1°S

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE
LES FONCTIONS POLYNÔMES
 Définitions

 Une fonction polynôme est une fonction définie sur
forme :

telle que f(x) peut s’écrire sous la

f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 .

Les nombres a0,…,an sont appelés les coefficients de la fonction polynôme f.
 Soit P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 un polynôme. Si an

0, n est appelé le degré de

P, noté deg(P).
 On appelle fonction rationnelle un quotient de deux fonctions polynômes.
Remarque :
– Le degré d’un polynôme constant (P(x)=a) est 0.
– Par convention, le polynôme nul n’a pas de degré.

 Egalité de deux polynômes
Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et leurs coefficients des
termes de même degré sont égaux.

 Racine d’une fonction polynôme :
Soit P une fonction polynôme de degré n, n ≥ 1 :

Une racine (ou zéro) de P est un nombre α tel que P(a) = 0.

Déterminer les racines de P, c’est résoudre l’équation P(x) = 0.

Théorème :
α est une racine de P si, et seulement si il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout
réel x :
P(x) = (x – α).Q(x).

 La forme canonique
Théorème :
Tout trinôme du second degré P(x) = ax² + bx + c , peut s’écrire sous la forme :
P(x) = a.(x + α)2 + β, où α et β sont des réels.
Cette écriture est appelée la forme canonique du trinôme.

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 2 : FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE – Fiche de cours – 1

1°S

LE SECOND DEGRE
 Définition
Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut être écrite sous la forme
ax ²  bx  c  0 , où a , b , c sont trois réels données tels que a  0 .

 Résolution
On calcule le nombre   b ²  4ac .
Ce nombre est appelé le discriminant de l’équation du second degré ax ²  bx  c  0 .
A partir de là, il y a trois cas possibles :

0

0

0

Deux racines distinctes :
Une seule solution
dite racine double :

Racines

Pas de solution réelle

de ax ²  bx  c  0

x0  

Factorisation

x1 

b
2a

x2 

b 
2a

a x  x1 x  x 2 

a  x  x 0 2

Impossible

b 
et
2a

de ax ²  bx  c

Exemple où

x

Signe

ax²  bx  c

de ax ²  bx  c





Signe de a

x
ax²  bx  c



x0

Signe de
a

x1  x 2 :



Signe
de a

x
ax²  bx  c



x1

x2



Signe Signe Signe
de a de -a de a

Remarque
Dans le cas où   0 , il faut comparer x1 et x 2 avant de compléter le tableau de signes pour pouvoir indiquer les
valeurs prises par x entre   et   , dans l’ordre croissant.
On a pris l’exemple où x1  x 2 ; l’autre cas donne exactement le même tableau… sauf qu’il faut bien entendu inverser
les deux racines x1 et x 2 .

 Relation entre les coefficients et les racines
Lorsque   0 , l’équation ax ²  bx  c  0 a deux racines distinctes x1 et x 2 .
La somme S et le produit P de ces racines sont alors donnés par :
S  x1  x 2  

b
a

et

P  x1  x2 

c
a

Et l’on peut aussi écrire : ax ²  bx  c  a.x ²  S .x  P .
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 2 : FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE – Fiche de cours – 2

1°S

GRAPHES DES EQUATIONS DE SECOND DEGRE
La représentation graphique d’un polynôme P(x) = ax² + bx + c est la parabole P d’équation
y = ax² + bx + c, (a

0).

 a > 0 et Δ > 0 :

x1

 a 0 :

x2

x1

 a > 0 et Δ = 0 :

b
2a

x2

P

 a 0 et Δ < 0 :

b
2a

P

 a < 0 et Δ < 0 :

P

P

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 2 : FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE – Fiche de cours – 3