DEMO Déterminer-les-extrema-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Fonctions usuelles et étude
de fonctions

Déterminer les extrema d’une
fonction
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 +

2
(x−4)2 +1 .

Etape 1 : Établir le sens de variation de f
On applique la méthode précédente :
• x 7→ (x−4)2 est décroissante sur ]−∞; 4]et croissante
sur [4; +∞[.
• x 7→ (x − 4)2 + 1 est du même sens de variation que
x 7→ (x − 4)2 , c’est à dire décroissante sur ] − ∞; 4] et
croissante sur [4; +∞[.
• Or x 7→ (x−4)2 +1 est de signe constant positif, donc
x 7→

2
(x−4)2 +1

a un sens de variation opposé à celui

de x 7→ (x − 4)2 + 1 : elle croît sur ] − ∞; 4]et décroît
sur [4; +∞[.
• x 7→ 1 +
x 7→

2
(x−4)2 +1

a le même sens de variation que

2
(x−4)2 +1 .

Ainsi, f croît sur ] − ∞; 4] et décroît sur [4; +∞[.

Etape 2 : Tracer un tableau de variation
Trace le tableau de variation en calculant les valeurs de
la fonction aux changements de sens de variation.

Etape 3 : Conclure sur les extrema
D’après le tableau de variation, f atteint un maximum
en α = 4. Il vaut f (α) = 3.