DEMO Déterminer-le-sens-de-variation-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Fonctions usuelles et étude
de fonctions

Déterminer le sens de variation
d’une fonction
Établir le tableau de variations de la fonction f définie
sur R par f (x) = 3 − 2(|x|+1).

Etape 1 : Écrire f à l’aide de fonctions usuelles
Si on pose u(x) = |x|, alors on a :
• f (x) = 3 − 2(u + 1)

Etape 2 : Déterminer le sens de variation de u
et éventuellement son signe
La fonction valeur absolue est une fonction à connaître :
• elle décroît sur ] − ∞; 0] et croît sur [0; +∞[.
• Elle est positive sur l’ensemble des réels.

Etape 3 : Établir progressivement le sens de
variation en partant de la fonction u
• Dans f la première fonction contenant u qui
apparaît est : u + 1. Le cours indique qu’elle a le
même sens de variation que u : elle décroît sur
] − ∞; 0] et croît sur [0; +∞[.
• La fonction u + 1 est ensuite multipliée par un
facteur −2, ce qui change le sens de variation en
son opposé. −2(u + 1) est croissante sur ] − ∞; 0] et
décroissante sur [0; +∞[.
• f est obtenue à partir de −2(u + 1) en ajoutant 3 ce
qui ne change pas le sens de variation.
Les trois points précédents permettent de compléter
ligne par ligne le tableau de variation suivant.

Etape 4 : Déduire le sens de variation de f
On en déduit que f est :
• croissante sur ] − ∞; 0] ;
• et décroissante sur [0; +∞[.