1°S – CHAP 01 – FONCTIONS – 1cours

Le 20-03-2019

1°S

LES FONCTIONS
GENERALITES sur les FONCTIONS
 Définitions
 Une fonction f définie sur un ensemble D associe à chaque nombre de D un nombre réel et
un seul, noté f(x) et appelé image de x par f.
 L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des réels x pour lesquels « f ( x )
existe »
 
 Soit f une fonction définie sur D, et (O, i , j ) un repère du plan.
 
On appelle courbe représentative de f dans le repère (O, i , j ) l’ensemble des points M(x, y) tels

que : x 

D et y = f ( x ).

 Fonctions paires et fonctions impaires :
Soit une fonction f définie sur un ensemble D de

centré en zéro.

 On dit que f est paire lorsque, pour tout x de D : f ( – x ) = f ( x ).
Les courbes des fonctions paires sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
 On dit que f est impaire lorsque, pour tout x de D : f ( – x ) = – f ( x ).
Les courbes des fonctions impaires sont symétriques par rapport à l’origine du repère

 Fonctions périodiques :
Soit f une fonction définie sur

, et T un nombre réel non nul.

On dit que f est périodique de période T lorsque, pour tout réel x : f ( x + T ) = f ( x )

 Variations :
Soit f une fonction définie sur un intervalle D : On dit que :
 f est croissante sur D

lorsque : pour tous réels x1 et x2 de D , si x1 < x2, alors f (x1) < f (x2)

 f est décroissante sur D lorsque : pour tous réels x1 et x2 de D , si x1 f (x2)

FONCTIONS de REFERENCE
 Fonctions affines :
Une fonction affine est définie sur

par f (x) = ax + b.

Cette fonction admet pour représentation graphique une droite. Cette droite a pour équation y = ax + b.
a est le coefficient directeur de la droite et b l’ordonnée à l’origine.
Si a > 0, la fonction f est strictement croissante.
Si a < 0, la fonction f est strictement décroissante.
Si a = 0, la fonction f est constante.

MATHEMATIQUES

Chapitre 1 : FONCTIONS – Fiche de cours – 1

1°S

 Fonction carré
La fonction carré est la fonction f définie sur

par f(x) = x².

C’est une fonction paire. Elle est strictement décroissante

sur l’intervalle ]- ;0] et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +[.
Elle admet un minimum en 0 qui a pour valeur 0.
Sa représentation graphique dans un repère orthonormé
est une parabole de sommet 0 et d’axe de symétrie l’axe des ordonnées.

 Fonction inverse
La fonction inverse est la fonction f définie sur ]-  ;0[  ]0 ; +[ par :
f(x) =

1
. C’est une fonction impaire.
x

Elle est strictement décroissante sur l’intervalle ]-  ;0[ et
sur l’intervalle ]0 ; +[.

La représentation graphique de la fonction inverse dans un repère
orthonormé est une hyperbole de centre de symétrie l’origine O.

 Fonctions cosinus et sinus
On appelle fonction cosinus, la fonction x  cos x , définie sur
On appelle fonction sinus, la fonction x  sin x définie sur

et paire.
et impaire.

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2  .
La fonction cosinus est décroissante sur l’intervalle [0 ;  ] .
  
La fonction sinus est croissante sur l’intervalle  ;  .
 2 2

Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.

 Fonction racine carré
La fonction racine carré est la fonction f définie sur [0 ; +[ par :
f(x) =

x .Elle est strictement croissante sur [0 ; +[.

 Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur [0 ; +[ par : f(x) = x .

Elle est paire.
Elle est strictement décroissante sur l’intervalle ]- ;0] et strictement croissante sur [0 ; +[.

 Fonction cube
La fonction cube est la fonction f définie sur

par : f(x) = x 3 .

Elle est impaire.
Elle est strictement croissante sur

MATHEMATIQUES

.

Chapitre 1 : FONCTIONS – Fiche de cours – 2

1°S

OPERATIONS sur les FONCTIONS
 Fonctions associées :
 
Soit f une fonction définie sur D, et (O, i , j ) et λ un réel.

 On appelle f + λ la fonction définie par : ( f + λ )( x ) = f ( x ) + λ.
 
Dans un repère (O, i , j ), la courbe C ’de f + λ se déduit de la courbe C de f par une translation de

vecteur λ. j (exemple fig.1)
 g la fonction telle que g ( x ) = f ( x + λ ) :
 
Dans un repère (O, i , j ), la courbe C ’ de g se déduit de la courbe

vecteur -λ. i (exemple fig.2)

C de f par une translation de

-2
x2+2

fig.1

fig.2
x2

+2

(x+2)2

x2

 Composition de fonctions:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et g définie sur un intervalle J contenant f(I)
( c’est à dire toutes les valeurs f ( x ) pour x décrivant I ) :
On appelle composée de f suivie de g la fonction notée g  f ( on lit g « rond » f ), définie pour tout
x de I par : x  g [ f ( x ) ].

 Variations :
Soit f et g deux fonctions monotones sur un intervalle I, et λ un réel.

f + λ est monotone sur I, de même sens que f.

λ.f est monotone sur I, de même sens que f si λ ≥ 0, de sens contraire si λ < 0.

Si f et g sont croissantes alors (f + g) l’est aussi.

Si f et g sont décroissantes alors (f + g) l’est aussi.

Si f et g sont monotones, alors g o f est monotone. Précisons :

Si f et g sont monotones de même sens, alors g  f est croissante.

Si f et g sont monotones de sens contraires, alors g  f est décroissante.

MATHEMATIQUES

Chapitre 1 : FONCTIONS – Fiche de cours – 3