1°S – CHAP 11 – Vecteurs et droites – 1cours

Le 20-03-2019

VECTEURS ET DROITES
RAPPELS SUR LES VECTEURS
 VECTEURS EGAUX, VECTEURS OPPOSES
⃗⃗⃗⃗⃗
?? et ⃗⃗⃗⃗⃗
?? sont égaux si : – ils ont la même direction : (??)//(??)
– ils ont la même longueur : ?? = ??
– ils ont le même sens
⃗⃗⃗⃗⃗
?? = ⃗⃗⃗⃗⃗
?? équivaut à ABCD est un parallélogramme (A,B,C,D non alignés)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
?? est l’opposé du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
??

 COORDONN2ES-DISTANCE-MILIEU
Soit ?(?? ; ?? ) et ?(?? ; ?? ) dans un repère (?, ⃗⃗⃗⃗
?? , ⃗⃗⃗⃗
??)
 Les coordonnées de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
?? sont : (?? − ?? ; ?? − ?? )
? +?? ?? +??
; 2 )

 I milieu de [??] a pour coordonnées : ( ? 2

 La distance AB est :√(?? − ?? )2 + (?? − ?? )²

 COLINEARITE DE 2 VECTEURS

?
⃗ et ? étant non nuls, ?
⃗ et ⃗⃗⃗? sont colinéaires si il existe un réel k non nul tel que :
⃗ = ??

?
Traduction analytique : ?
⃗ (?; ?) et ? (? ′ ; ? ′ ) sont colinéaires si et seulement si : ??′ −

??=?

BASE D’UN PLAN
On appelle base du plan tout couple de 2 vecteurs non colinéaires.

Propriété : Soit (?
⃗ ; ?) une base du plan. Pour tout vecteur ?
⃗⃗ il existe un unique couple de
réels (a,b) tel que :
?
⃗⃗ = ??
⃗ + ??
⃗⃗⃗⃗
On dit que ?
⃗⃗ a pour coordonnées (a,b) dans la base (?
⃗ , ?)

??

?

?
⃗⃗

?
??

EQUATIONS DE DROITE

Dans un repère, toute droite a une équation de la forme :
 ? = ?? + ? si (d) est non parallèle à l’axe des abscisses
 ? = ? si (d) est parallèle à l’axe des abscisses

 VECTEUR DIRECTEU D’UNE DROITE-DROITES PARALLELES
?
⃗ est un vecteur directeur de (d) : il a
la même direction que (d)
?

?




⃗ (?; ?′ ) est un vecteur directeur de d
Si d a pour équation réduite ? = ?′? + ?′; ?
⃗ (−?; ?) est un vecteur
Si d a pour équation cartésienne ?? + ?? + ? = 0 ?
directeur de d
Si 2 droites sont parallèles, elles ont même coefficient directeur a
Les droites d’équation ?? + ?? + ? = 0 et ?′ ? + ? ′ ? + ? ′ = 0 sont parallèles si et
seulement si ??′ − ?′ ? = ?

SYSTEMES LINEAIRES

Soit (S) {

?? + ?? = ?
?′ ? + ? ′ ? = ?′

?≠0
avec {
?′ ≠ 0

Soit (d) la droite d’équation ?? + ?? = ?
Soit (d’) la droite d’équation ?′? + ?′? = ?′

Si (d) et (d’) sont sécantes en un seul point : ??′ − ?′? ≠ ? , (S) admet un couple
unique de solution, ce couple correspond aux coordonnées du point d’intersection
de (d) et (d’)

Si ?? ′ − ? ′ ? = 0 :
– (S) n’admet aucune solution : (d) et (d’) sont parallèles et
distinctes

Ou (S) admet une infinité de solution : (d) et (d’) sont
confondues