NOTION Sens-de-variation-dune-fonction

Le 20-03-2019

La dérivation

Dérivation et étude de fonctions
Sens de variation d’une fonction
Propriété
Sens de variation d’une fonction dérivable
Soit f une fonction dérivable définie sur un
intervalle I.
• Si f ′ est positive sur I, alors f est croissante
sur I.
• Si f ′ est négative sur I,

alors f

est

décroissante sur I.
Remarque
• Cette propriété permet de trouver le sens de
variation d’une fonction sur un intervalle I en
étudiant seulement le signe de la dérivée de
cette fonction sur I.
• En général, les dérivées calculées ne sont
pas toujours de même signe ; il faut alors
découper leur domaine de définition en
intervalles sur lesquels elles gardent un
signe constant, et en déduire ainsi le sens
de variations de la fonction sur chaque
intervalle.
Exemple
Retrouvons, à l’aide du calcul de dérivée, les
variations de la fonction f (x) = x2 .
• D’après le formulaire, cette fonction est
dérivable sur R ; sa dérivée est f ′ (x) = 2x.
• Donc si x ≤ 0, f ′ (x) ≤ 0 et si x ≥ 0, alors f ′ (x) ≥
0.
• Ainsi, on retrouve bien que f décroît sur ] −
∞; 0] et croît sur [0; +∞[.