NOTION Opérations-sur-les-fonctions-et-dérivation

Le 20-03-2019

La dérivation

Dérivation de fonctions
Opérations sur les fonctions et dérivation
Propriété
Dérivées sur les opérations de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un
intervalle I.
• Alors λu, u + v et uv sont aussi dérivables sur
I:
– (λu)′ = λu′ ;
– (u + v)′ = u′ + v ′ ;
– (uv)′ = u′ v + uv ′ .
Exemple
Montrons que la fonction f (x) = x4 − 2×3 + x − 5
définie sur R est dérivable et calculons sa dérivée.
• Les fonctions x → x4 , x 7→ −2×3 x 7→ x et x 7→
−5 sont dérivables sur R d’après le formulaire
de dérivation des fonctions usuelles.
• Comme f est la somme de ces fonctions, f
est dérivable d’après la propriété précédente
;
• et on a :
f ′ (x) = (x4 )′ + (−2×3 )′ + x′ + (−5)′
f ′ (x) = 4×3 + (−2) × 3×2 + 1 + 0 = 4×3 − 6×2 + 1.
Propriété
Opérations sur les dérivées de fonctions
Soient u, v deux fonctions dérivables sur un
intervalle I où v ne s’annule pas.
• Alors

1
v

et

sont dérivables, de dérivées

u
v

données par :

– ( v1 )′ = − vv2 ;
– ( uv )′ =

u′ v−uv ′
.
v2