NOTION Nombre-dérivé

Le 20-03-2019

La dérivation

Nombre dérivé
Définition
Nombre dérivé d’une fonction en un point
Soit f une fonction et a un réel dans son domaine
de définition.
• f

est dite dérivable en a si le taux
f (a+h)−f (a)
,
h

d’accroissement

pour h non

nul, admet une limite finie quand h tend
vers 0.
On appelle cette limite nombre dérivé de f en a,
et on le note :
• f ′ (a) = limh→0

f (a+h)−f (a)
h

Exemple
Calculons le nombre dérivé en 0 de la fonction f
définie pour tout x par f (x) = x2 .
• Pour h non nul,

f (0+h)−f (0)
h

=

h2
h

= h. Or

limh→0 h = 0.
• Donc f est bien dérivable en 0 et f ′ (0) = 0.
Propriété
Tangente à la courbe représentative d’une
fonction dérivable en un point
Soit f une fonction de courbe représentative Cf
dérivable en un point a.
• La tangente à Cf au point A de coordonnées
(a; f (a)) est la droite passant par A de
coefficient directeur f ′ (a) ;
• elle admet pour équation réduite y

=

f (a)(x − a) + f (a).
Remarque
La tangente peut être interprétée comme
la droite qui approche le mieux la courbe
représentative de f en un point.
Exemple
Calculons l’équation de la tangente en 1 de la
courbe représentative de la fonction f (x) = x2 .
• Pour h non nul, le taux d’accroissement en 1
vaut

f (1+h)−f (1)
h

=

(1+h)2 −1
h

=

h2 +2h
h

= h + 2.

• Or h + 2 tend vers 2 quand h tend vers 0.
• Donc f est bien dérivable en 1 et f ′ (1) = 2.
• La tangente à la courbe représentative de f
au point de coordonnées (1; 1) a donc pour
équation y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.