DEMO Déterminer-le-sens-de-variation-dune-fonction

Le 20-03-2019

La dérivation

Déterminer le sens de variation
d’une fonction
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

x+1
x2 +x+1 .

Dresse le tableau de variation de f .

Etape 1 : Calculer la dérivée de f
f est dérivable comme somme, produit et quotient de
fonctions dérivables.
On obtient :
• f ′ (x) =

(x+1)′ ×(x2 +x+1)−(x+1)×(x2 +x+1)′
(x2 +x+1)2

(dérivation

d’un quotient de deux fonctions).
D’où :
• f ′ (x) =

(x2 +x+1)−(x+1)(2x+1)
(x2 +x+1)2

=

−x2 −2x
(x2 +x+1)2

Etape 2 : Déterminer le signe de f ′
Le dénominateur de f ′ est un carré donc toujours positif,
et non nul car le discriminant de x2 + x + 1 est négatif.
Ainsi le signe de f ′ ne dépend que du numérateur −x(x+
2) :
• Si x ∈] − ∞; −2], alors f ′ (x) ≤ 0.
• Si x ∈ [−2; 0], alors f ′ (x) ≥ 0.
• Si x ∈ [0; +∞[, alors f ′ (x) ≤ 0.

Etape 3 : En déduire le sens de variation de f
Le cours indique que f croît sur les intervalles où f ′ est
positive, et décroît sur ceux où f ′ est négative. Donc :
• sur ] − ∞; −2]: f décroît ;
• sur [−2; 0] : f croît ;
• sur [0; +∞[ : f décroît.