DEMO Calculer-la-dérivée-dune-fonction-à-laide-des-formules

Le 20-03-2019

La dérivation

Calculer la dérivée d’une fonction à
l’aide des formules
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =


x
x2 +1 .

Montre que f est dérivable et calcule sa dérivée.

Etape 1 : Montrer que f est dérivable à l’aide
des formules
f est dérivable comme somme, produit et quotient de
fonctions dérivables :
• x→


x est dérivable sur ]0; +∞[.

• x→

1
x2 +1

est dérivable sur ]0; +∞[ car x 7→ x2 + 1 est

dérivable et ne s’annule pas.
Ainsi f est dérivable sur ]0; +∞[ comme produit de ces
deux fonctions dérivables.

Etape 2 : Calculer la dérivée à l’aide des
formules
• On utilise la formule de dérivation d’un quotient de
deux fonctions u, v :

( u )′
v

u′ v−uv ′
;
v2
√ ′ 2

+1)− x(x2 +1)′
= ( x) (x (x
.
2 +1)2

=

– f ′ (x)

• On se sert des formules de dérivation de xn et
– f ′ (x) =


1

(x2 +1)− x×2x
2 x
(x2 +1)2

• On regroupe tout au même numérateur :
– f ′ (x) =
f ′ (x) =
f ′ (x) =


1

(x2 +1)− x×2x
2 x
(x2 +1)2


x2 +1−2 x× x×2x

2 x
(x2 +1)2
2
√−3x +1
2 x(x2 +1)2

Etape 3 : Conclusion
On obtient :
• f ′ (x) =

2
√−3x +1
2 x(x2 +1)2

x: