1°S – CHAP 03 – DERIVEES et APPLICATIONS – 1cours

Le 20-03-2019

1°S

DÉRIVEES et APPLICATIONS
NOMBRE DERIVE
 Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0.
On dit que f est dérivable en x0 si la quantité

f(x0 h) f(x0)
admet une limite finie quand h tend
h

vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f ‘(x0).

 Meilleure approximation affine :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert et x0 un réel appartenant à I.
La fonction affine h f(x0) f ‘(x0)h est l’approximation affine de la fonction h f(x0  h) en 0,
c’est à dire que : f(x0 h) f(x0)hf'(x0) pour h proche de 0

 Dérivées usuelles :
f(x)

f ‘ (x)

a

0
*)

xn (n
1
x
1 (n
xn

nxn-1
– 12
x

*)

x
ax + b

MATHÉMATIQUES

Df ‘

*

n
xn1

*

1
2 x
a
2 ax + b

cos x

– sin x

sin x

cos x

*+

{x

/ ax + b > 0}

CHAPITRE 3 : DERIVEES et APPLICATIONS – Fiche de cours –

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1°S

FONCTION DERIVEE
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D,
alors les fonctions suivantes sont dérivables et :
Fonction
au

a réel

uv
uv
u

n

Dérivée

Fonction

a  u’

1
v

Dérivée
v’

v2

u’v’

u

u ‘ v  uv’

v


u’

u ‘v  u  v ‘

n  u ‘u

n 1

u
u (ax  b)

avec a et b réels

2 u
a  u ‘ (ax  b)

APPLICATIONS
 Tangente
Si f est dérivable en x0, la courbe représentative Cf de la fonction f admet au point d’abscisse x0 une
tangente dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en x0.
Une équation de la tangente à Cf au point M0( x0 ; f ( x0 )) est : y  f’ (x 0 )(x  x 0 )  f(x0 )

 Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors :
 f est croissante sur I si et seulement si pour tout x  I, f ’(x)  0
 f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x  I, f ’(x)  0
 f est constante sur I si et seulement si pour tout x  I, f ’(x) = 0

 Extrema d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. Si f ’ s’annule en changeant de
signe en x0, alors f admet un extremum en x0.

MATHÉMATIQUES

CHAPITRE 3 : DERIVEES et APPLICATIONS – Fiche de cours –

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