NOTION Modes-de-génération-d’une-suite

Le 20-03-2019

Suites

Les suites numériques
Modes de génération d’une suite
Définition
Il existe différentes façons de définir la valeur du
terme de rang n d’une suite (un ), en particulier :
• De façon explicite, lorsque le terme de rang
n peut être exprimé en fonction de n :
– un = f (n) pour tout entier naturel n.
• Par récurrence, lorsqu’un terme est fonction
du (ou des) terme(s) précédent(s). On donne
alors :
– une formule de récurrence : un+1 =
f (un ) ;
– le terme initial, par exemple : u0 = a, où
a est un réel fixé.

 u
n+1 = f (un )

u =a
0

Exemple
• La suite (un ) définie par un =


n pour

tout entier naturel n est définie de façon
explicite, à l’aide de la fonction racine carrée

f (x) = x.
• Calculons les premiers termes :

0=0;

= 1=1;

= 2;

= 3;

= 4 = 2, etc.

– u0 =
– u1
– u2
– u3
– u4

• La suite (vn ) ci-dessous est définie par
récurrence pour tout entier naturel n par :
{ v n+1 = vn + 3
v0 = 1
• Pour obtenir un terme de la suite, on ajoute
3 au terme précédent. Sachant que la suite
commence à v0 = 1, on peut calculer ainsi,
de proche en proche, tous les termes :
– v0 = 1 ;
– v1 = v0 + 3 = 1 + 3 = 4 ;
– v2 = v1 + 3 = 4 + 3 = 7, etc.
Remarque
Il existe d’autres modes de génération d’une suite,
par exemple :
• Le terme de rang n+1 peut dépendre à la fois
de n et de un comme dans la suite définie sur
N par :
{ u n+1 = un + n
u0 = 1
• Dans un problème, il est aussi possible
qu’une suite ne soit pas donnée par
une formule, mais par une construction
géométrique ou

bien

par

un

énoncé

(comme dans l’exemple précédent avec la
suite donnant l’évolution de la population
française en fonction de l’année).