DEMO Reconnaître-la-nature-arithmétique-ou-géométrique-d’une-suite-définie-par-récurrence

Le 20-03-2019

Suites

Reconnaître la nature (arithmétique
ou géométrique) d’une suite définie
par récurrence
Pour chacune des suites suivantes, indiquer, en justifiant,
s’il s’agit d’une suite arithmétique ou géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison, et donner sa
forme explicite.
(un ) est la suite définie pour tout n ∈ N par { u 0 = −2
un+1 = un − 5.
(vn ) est la suite définie pour tout n ∈ N par { v 0 = 1
vn+1 = −vn .

Etape 1 : Rappeler les définitions
• Une suite arithmétique est définie par récurrence
par : un+1 = un + r où r est un réel fixé. La différence
un+1 − un est donc constante, elle est égale à la
raison r.
• Une suite géométrique est définie par récurrence
par : un+1 = q × un où q est un réel fixé. Le quotient
un+1
un

a donc une valeur constante, égale à la raison

q.

Etape 2 : Calculer selon le cas, la différence
ou le quotient de deux termes consécutifs
• Pour la suite (un ), pour tout n ∈ N, on a :
– un+1 − un = (un − 5) − un = −5 ;
– La suite (un ) est donc une suite arithmétique
de raison r = −5 et de premier terme u0 = −2.
• Pour la suite (vn ), pour tout n ∈ N, on a :

vn+1
vn

=

−vn
vn

= −1 ;

– La suite (vn ) est donc une suite géométrique
de raison q = −1 et de premier terme v0 = 1.

Etape 3 : Donner l’expression des suites sous
forme explicite
• La suite (un ) étant une suite arithmétique, son
expression en fonction de n est de la forme : un =
u0 + nr. D’où pour tout n ∈ N, un = −2 −5n = −5n − 2.
• La suite (vn ) étant une suite géométrique, son
expression en fonction de n est de la forme : vn =
v0 × q n . D’où pour tout n ∈ N, vn = 1 × (−1)n = (−1)n .