NOTION Variance

Le 20-03-2019

Statistiques

Indicateurs de dispersion d’une série
statistique
Variance
Définition
Variance
Soit la série statistique d’effectif total et de
moyenne suivante :

Valeurs

x1

x2

xp

Effectifs

n1

n2

np

La variance de la série est le réel défini par : V = 1 [n1 (x1 − x̄)2 + n2 (x2 − x̄)2 + … +
n
∑p
np (xp − x̄]2 ) = 1
n (x − x̄)2
i=1 i i
n

Remarque
• La variance est en réalité la moyenne de
l’écart au carré entre chaque valeur et x̄ : on
somme tous ces écarts mis au carré, puis on
divise par la population n.
• Mettre l’écart au carré permet d’éviter les
problèmes liés aux écarts positifs et négatifs
qui se compenseraient, faussant ainsi le
résultat.
Exemple
Sur notre exemple, nous avions trouvé x̄ ≈ 11, 21.
• On commence par calculer les différences
(xi − x̄) et  (xi − x̄)2 et on les consigne dans le
tableau en ajoutant deux lignes :
Note

1

2

4

5

8

9

12

14

15

18

19

Effectif

4

3

2

1

1

2

1

3

2

3

2

20
5

Écarts à

−10.2 −9, 2 −7, 2 −6, 2 −3, 2 −2, 2 0, 8

2, 8

3, 8

6, 8

7, 8

8, 8

Écarts au carré

104, 2 84, 8

7, 8

14, 4

46, 2

60, 7

77, 4

51, 9

38, 5

10, 3

4, 9

0, 6

• Puis on effectue le calcul final de la même façon qu’avec la moyenne : on trouve alors
V = 52, 9.

Propriété
Variance : formule simplifiée
Soit la série statistique d’effectif total n et de
moyenne x̄ suivante :

Valeurs

x1

x2

xp

Effectifs

n1

n2

np

La variance V de la série peut se calculer grâce à la formule :
2
2
2
1 ∑p
n x2 − x̄2
• V = 1 (n1 x2
1 + n2 x2 + … + np xp ) − x̄ = n
i=1 i i
n

Remarque
• Cette formule, est intéressante car elle allège
les calculs.
• Pour la retenir plus facilement, il suffit de
savoir que c’est la moyenne des carrés des
valeurs moins le carré de la moyenne de la
série.