NOTION Variable-aléatoire

Le 20-03-2019

Probabilités

Variables aléatoires discrètes
Variable aléatoire
Définition
Variable aléatoire
Soit un univers  Ω.
Une variable aléatoire est une fonction qui, à
chaque évènement de Ω, associe un nombre.
L’ensemble des valeurs prises par une variable
aléatoire X est noté X(Ω).
Remarque
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire est dite discrète lorsque
l’univers Ω = {ω1 , ω2 , …, ωn } est fini.
Dans ce cas, l’ensemble des valeurs prises par la
variable aléatoire est :
• X(Ω) = {X(ω1 ), X(ω2 )…, X(ωn )}.
Exemple
Adam joue à un jeu de dés. Il lance un dé :
• si le résultat du tirage est de 3 ou plus, il
gagne 1 point, sinon il en perd 2.
Ici, l’univers est l’ensemble des résultats possibles
du lancé de dé :
• Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
On peut définir une variable aléatoire X comme
le gain d’Adam à chaque lancer et on a X(Ω) =
{−2, 1}.
Définition
Loi d’une variable aléatoire
Soit un univers fini Ω = {ω1 , ω2 , …, ωn } et X une
variable aléatoire sur Ω.
La loi de probabilité P de X associe à chaque
évènement xi de X la probabilité de cette
éventualité P (X = xi ).
Remarque
{X = xi } est l’ensemble des éventualités pour
lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur
xi .
Remarque
Interprétation

fréquentielle

d’une

loi

de

probabilité
Si l’on réalise un grand nombre de tirage
d’une variable aléatoire X, alors la fréquence
d’apparition de chaque résultat xi se rapproche
de de la probabilité P (X = xi ).
Exemple
• Manel lance une pièce équilibrée.

Si le

résultat est « face » elle gagne deux points
; sinon elle en perd un.
• Ici l’univers est Ω = {pile, f ace}. La variable
aléatoire X associe au résultat du lancé le
nombre de points que gagne Manel, X(Ω) =
{2, −1}.
• La loi P de X est donnée par P (X = −1) =
1
2

p(pile) =

et  P (X = −1) = p(f ace) = 21 .

Définition
Espérance
Soit un univers fini Ω

=

{ω1 , ω2 , …, ωn } et X

une variable aléatoire sur  Ω munie d’une loi de
probabilité P .
L’espérance de X est le nombre réel :
• E = P (X = x1 )×x1 +P (X = x2 )×x2 + +P (X =
∑i=n
xn ) × xn = i=1 P (X = xi )xi .
Remarque
Interprétation fréquentielle de l’espérance
L’espérance

mathématique

d’une

variable

aléatoire X peut être interprétée comme le
résultat moyen de X pour un très grand nombre
de tirages.
Exemple
Considérons une urne contenant 10 boules : 1
rouge, 4 bleues et 5 jaunes. Adam tire une boule
au hasard. Si la boule est rouge il gagne 10 points,
si elle est bleue 4 points et si elle est jaune il ne
gagne qu’un point.
L’univers est alors composé de 3 éventualités (les
couleurs possibles de la boule sélectionnée) :
rouge (R), bleue (B) ou jaune(J) ; Ω = {R, B, J}.
On considère la variable aléatoire X qui associe
à la couleur de la boule piochée le nombre de
points d’Adam. On a donc : X(Ω) = {10, 4, 1}.
La loi de X est :
• P (X = 10) = p(piocher une boule rouge) =

1
10

;

• P (X = 4) = p(piocher une boule bleue) =

1
10

+

1
10

+

1
10

+

1
10

=

4
10

;

• P (X = 1) = p(piocher une boule jaune) =

5
10 .

L’espérance de X est donc :
• E = P (X = 10) × 10 + P (X = 4) × 4 + P (X =
1) × 1 =

1
10

× 10 +

4
10

×4+

5
10

×1=

31
10 .