NOTION Univers-et-probabilités

Le 20-03-2019

Probabilités

Variables aléatoires discrètes
Univers et probabilités
Définition
Univers
Soit Ω l’ensemble des éventualités (résultats) 
possibles d’une expérience aléatoire.
On appelle Ω l’univers de l’expérience.
Définition
Évènement
On appelle évènement toute sous partie de Ω.
Définition
Éventualités
Une éventualité est un résultat possible de
l’expérience.
Propriété
Évènements particuliers
Ω est une partie de Ω, c’est l’évènement certain.
∅ est une partie de Ω,

c’est l’évènement

impossible.
Exemple
Considérons une urne contenant deux boules :
une noire et une blanche.
On tire au hasard une boule et on note sa couleur,
N pour noire et B pour blanc.
• L’univers est Ω = {N, B}.
• L’ensemble

des

évènements

est

{∅, {N }, {B}, {N, B}}.
Définition
Loi de probabilité discrète
Soit l’univers Ω = {ω1 , ω2 , …, ωn }.
Soit p une fonction qui à chaque élément de Ω
associe un nombre réel p(ωi ) = pi tel que :
• 0 ≤ pi ≤ 1
• p1 + p2 + + pn = 1
p est une loi de probabilité sur Ω.
Propriété
Probabilité d’un évènement
Soit E = {e1 , e2 , …, en } un évènement de Ω.
La probabilité de E est la somme des probabilités
des éléments qui le compose :
• p(E) = p(e1 ) + p(e2 ) + + p(en ).
On a donc :
• p(Ω) = 1 et on pose p(∅) = 0.
Remarque
Soit A un évènement de probabilité P (A).
L’évènement

«

ne

A

se

réalise

pas »

est

l’évènement contraire de A et sa probabilité
est 1 − P (A).
Exemple
On considère un dé équilibré.
Sa loi de probabilité se résume dans le tableau
suivant :
Numéro de la face xi
Probabilité pi

1
1
6

2
1
6

3
1
6

4
1
6

5
1
6

6
1
6

L’évènement A = « la face supérieure est paire » = {2, 4, 6} a comme probabilité
p(A) = p(2) + p(4) + p(6) = 1 + 1 + 1 = 1 .
6
6
6
2

Remarque
On appelle loi uniforme la loi de probabilité telle
que : p1 = p2 = … = pn =

1
n.

C’est le cas d’une expérience équilibrée (ex. : le
lancer d’un dé équilibré).