NOTION Coefficients-binomiaux-et-Loi-Binomiale

Le 20-03-2019

Probabilités

Loi Binomiale
Coefficients binomiaux et Loi Binomiale
Définition
Loi Binomiale
Soient un réel p ∈ [0, 1] et n un entier naturel non
nul.
Soit X une variable aléatoire.

On dit que X

suit une loi binomiale de paramètres (n, p) si
X compte le nombre de succès du schéma
de Bernoulli de paramètres (n, p).
Exemple
On considère un archer professionnel.
Lors d’un de ses entrainements, il tire exactement
150 flèches.
Après une étude statistique, on remarque que
chaque flèche de cet archer a une probabilité de
0,70 d’atteindre la région centrale de la cible.
Le nombre de flèche atteignant le centre de la
cible suit donc une loi binomiale de paramètre
(150, 0,70).
Définition
Coefficient binomial
Soient n un entier naturel non nul et k un entier
naturel inférieur ou égal à n.
( )
Le coefficient binomial nk , aussi noté Cnk , se lit «
k parmi n ». Il correspond au nombre de façons
de choisir k éléments dans un ensemble de n
éléments.
Remarque
Le coefficient binomial

(n)
k

peut être calculé

explicitement avec la formule suivante :

(n)
k

=

n!
k!(n−k)! .

où « ! » est le symbole des factoriels. On rappelle
que : n! se lit « n factorielle » et vaut n! = n × (n −
1) × (n − 2) × × 2 × 1.
Propriété
Soient n un entier naturel non nul et k un entier
naturel inférieur ou égal à n.


(n)
0

(n)
1

(n)
k

=
=
=

(n)
n

=1;

(

)

(

)

=n;

n
n−1

n
n−k

.

Exemple
On dispose de 4 balles que l’on numérote de 1 à
4.
On veut en choisir 2 parmi les 4. On dispose alors
()
de 42 possibilités.
Dans ce cas simple on peut les lister :
Balles 1 et 2

Balles 2 et 3

Balles 1 et 3

Balles 2 et 4

Balles 1 et 4

Balles 3 et 4

Il y a donc 6 possibilités, d’où

( )
4
= 6.
2

Propriété
Expression de la loi binomiale
Soient un réel p ∈ [0, 1], n un entier naturel non nul
et k un entier naturel inférieur à n.
Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de
paramètres (n, p), alors :
( )
• P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k .
Exemple
Reprenons l’exemple de l’archer dont le nombre
de flèche atteignant le centre de la cible durant
un entrainement obéit à une loi binomiale de
paramètres (150, 0,70).
On

peut

donc

calculer

explicitement

la

probabilité que 100 de ces flèches atteignent
la région centrale de la cible :
• P (X = 100) =

(150)
100
(1 − 0,70)150−100 =
100 0,70

0,047.
Théorème
Espérance de la loi binomale
Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de
paramètres (n, p), alors l’espérance E(X) de X est
:
• E(X) = np.