DEMO Variables-aléatoires

Le 20-03-2019

Probabilités

Variables aléatoires
Estelle veut jouer à la roulette au casino. Une roulette
de casino est composée de 37 cases numérotées de 0 à
36. Les cases à numéro pair sont rouges et les cases à
numéro impair sont noires, à l’exception de la case 0 qui
est verte.
Dans ce casino, on peut soit miser sur un numéro de 1
à 36, soit sur une couleur (rouge ou noire). Si l’on mise
sur un numéro et que la bille s’arrête sur ce numéro, on
récupère 35 fois la mise, sinon la mise est perdue. Dans
le cas où l’on mise sur une couleur, on récupère deux fois
la mise. On ne peut pas miser sur le 0 et si la bille s’arrête
dessus la mise est perdue pour le joueur.
Estelle veut savoir quelle est la meilleure stratégie pour
optimiser ses gains.

Etape 1 : Identifier l’expérience aléatoire, son
univers et la loi de probabilité associée
• Ici, l’expérience aléatoire est une partie de roulette
de casino durant laquelle une bille s’arrête
aléatoirement sur une des 37 cases décrites
dans l’énoncé.
• L’univers est donc composé des 37 cases de la
roulette.
On note Ω = {0, 1, 235, 36}.
• La bille est supposée être équilibrée et peut
s’arrêter sur chaque case avec la même probabilité.
La loi de probabilité est donc uniforme.
1
Soit i tel que 0 ≤ i ≤ 36 et pi =
.
37

Etape 2 : Définir des variables aléatoires
pertinentes et leurs lois
On veut associer une variable aléatoire aux gains de
chacune des deux stratégies suivantes.
Notons m la mise d’Estelle, un nombre réel strictement
positif.
Première stratégie :
• On mise sur un numéro, de 1 à 36.
• On gagne 35 fois la mise si notre numéro est le bon,
sinon la mise est perdue.
• On définit X la variable aléatoire représentant ce
que récupère Estelle à l’issue d’une partie.
• La loi de X est donc P (X = 35 × m) =
0) =

1
37 ,

P (X =

1
36 .

Deuxième stratégie :
• On mise sur une couleur, rouge ou noire.
• On gagne 2 fois la mise si notre couleur est
sélectionnée, sinon la mise est perdue.
• On définit Y la variable aléatoire représentant ce
que récupère Estelle à l’issue d’une partie.
• La loi de Y est donc P (Y = 2 × m) =

18
37 ,

P (X = 0) =

19
36 .

Il suffit désormais de compter le nombre d’éventualités
de Ω pour lesquelles une stratégie est gagnante pour
obtenir les lois de X ou Y puisque la loi de probabilité
associée à Ω est uniforme.

Etape 3 : Résoudre le problème en calculant
les espérances
• Il

ne

reste

maintenant

plus

qu’à

calculer

l’espérance de X et de Y afin de savoir quelle
stratégie rapporte en moyenne le plus de gains :
EX = 35 × m ×
EY = 2 × m ×

1
37

18
37

=

=

35m
37

;

36m
37 .

• On a : EY > EX .
La stratégie « miser sur une couleur » rapporte donc
en moyenne un gain supérieur à la stratégie « miser
sur un chiffre ».
• On peut cependant noter que pour les deux
stratégies, le gain moyen est inférieur à la mise. En
effet EX < m et EY < m. Sur un très grand nombre
de parties, Estelle perd donc de l’argent.