NOTION Résolution-d’inéquations-du-second-degré

Le 20-03-2019

Second degré

Résolution d’inéquations du second
degré
Propriété
Factorisation d’un trinôme du second degré
Soit f une fonction trinôme du second degré
définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c.
En reprenant les notations vues précédemment
(résolution d’une équation du second degré) :
• si ∆ 0, alors on peut factoriser et f (x) =
a(x − x1 )(x − x2 ).
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3×2 +
12x + 12.
• On a ∆ = 122 − 4 × 3 × 12 = 144 − 144 = 0, donc
on peut factoriser f (x).
12
= −2, donc
• On calcule la racine : x0 = − 2×3

f (x) = 3(x − (−2))2 = 3(x + 2)2 .
Propriété
Signe d’un trinôme du second degré
Le signe d’un trinôme du second degré f (x)
dépend du discriminant ∆ et de a.
• Si ∆ 0 si a > 0 ;
– f (x) < 0 si a 0 ;
– f (x) ⩽ 0 si a 0, alors le trinôme est de signe de a à
l’extérieur des racines et du signe de −a entre
les racines.
On résume cette propriété par les tableaux de
signes ci-contre.

Propriété
Le

tableau

ci-contre

donne

les

différentes

possibilités pour la courbe représentative d’une
fonction trinôme du second degré.

Exemple
Résoudre l’équation −4×2 − 8x + 60 > 0.
• On commence par calculer le discriminant :
– ∆ = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 × (−4) × 60 =
64 + 960 = 1024 > 0
• L’équation −4×2 − 8x + 60 = 0 admet donc
deux solutions :
– x1 =
– x2 =


−b− ∆
2a

−b+ ∆
2a

=
=


−(−8)− 1024
2×(−4)

−(−8)+ 1024
2×(−4)

=

8−32
−8

=3

=

8+32
−8

= −5

• On en déduit le signe de −4×2 − 8x + 60, avec
a = −4 0.
• L’inéquation −4×2 − 8x + 60 > 0 a donc pour
solution l’intervalle ] − 5 ; 3[.