DEMO Déterminer-l’extremum-d’une-fonction-trinôme-du-second-degré

Le 20-03-2019

Second degré

Déterminer l’extremum d’une
fonction trinôme du second degré
Une entreprise vend des objets, lorsqu’elle en vend x, son
bénéfice, en euros, sur l’intervalle [1 ; 50] est modélisé par
la fonction B définie par B(x) = −0, 25×2 + 19, 5x − 130, 25.
Déterminer combien d’objets doit produire et vendre
l’entreprise pour que son bénéfice soit maximal, et
déterminer ce bénéfice maximal.

Etape 1 : Déterminer la forme canonique
• On sait qu’il existe deux réels α et β tels que, pour
tout réel x de l’intervalle [1 ; 50], on a : B(x) = a(x −
α)2 + β, il s’agit de la forme canonique.
• On calcule α et β :
(
)
19,5
b
– α = − 2a
= − 2×(−0,25)
= 39
• D’où :
– β = B(α) = B(39)
– = −0, 25 × 392 + 19, 5 × 39 − 130, 25
– = −380, 25 + 760, 5 − 130, 25
– = 250
• Ainsi, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 50], on a :
– B(x) = −0, 25(x − 39)2 + 250.

Etape 2 : Déterminer les variations de la
fonction B sur son ensemble de définition
• Le coefficient a étant négatif, la fonction est
croissante puis décroissante.
– elle est croissante sur [1 ; 39] – elle est décroissante sur [39 ; 50] • On obtient le tableau de variations ci-dessous où α
et β ont été calculés précédemment.

Etape 3 : Construire le tableau de variations
de la fonction sur son ensemble de définition
• On calcule les images de 1 et 50 par B :
– B(1) = −0, 25 × 12 + 19, 5 × −130, 25 = −111
– B(50) = −0, 25 × 502 + 19, 5 × 50 − 130, 25 = 219, 75
• On obtient le tableau de variations suivant :

Etape 4 : Conclure
• L’entreprise doit produire 39 objets pour que son
bénéfice soit maximal ; ce bénéfice maximal est
alors de 250 euros.