DEMO Déterminer-le-sens-de-variation-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Déterminer le sens de variation
d’une fonction
Montrer que la fonction f définie par  f (x) =

−1
x+1

est

croissante sur les intervalles ] − ∞; −1[ et  ] − 1; +∞[.

Etape 1 : Rechercher l’ensemble de définition
• La fonction f est définie pour tout réel x tel que x +
1 ̸= 0.
• Donc pour x ̸= −1, −1 est une valeur interdite et f
est définie sur ] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[.

Etape 2 : Écrire la formule à démontrer
• Pour montrer que f est croissante sur l’intervalle ] −
∞; −1[, il faut montrer que pour tous réels a et b de
] − ∞; −1[, si a ≤ b alors f (a) ≤ f (b).

Etape 3 :

Démontrer en utilisant les

variations des fonctions de référence
Soient a et b tels que









a < −1





ce qui équivaut à


b < −1










 a<b









a+1<0







b+1<0










 a<b
• La fonction x → x + 1 est une fonction affine de
coefficient directeur positif, donc croissante sur R.
– Donc si a < b alors a + 1 < b + 1
• On a a + 1 < 0 et b + 1 < 0 et la fonction inverse est
décroissante sur ] − ∞; 0[.
– Donc si a + 1

1
b+1

−x est une fonction affine

décroissante sur R.
– Donc si

1
a+1

>

1
b+1

alors

−1
a+1

<

−1
b+1

c’est-à-dire

f (a) ≤ f (b)
On
 a donc montré que si








a < −1





alors f (a) ≤ f (b), ce qui signifie que la


b < −1










 a<b
fonction f est croissante sur l’intervalle ] − ∞; −1[.
On démontre de même qu’elle est croissante sur ] −
1; +∞[.

Etape 4 : Conclure et dresser le tableau de
variations
• D’où le tableau de variations de variations de f :