NOTION Tangente-à-une-courbe

Le 20-03-2019

Dérivation

Nombre dérivé et tangente
Tangente à une courbe
Définition
Tangente à une courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On
suppose que la fonction f est dérivable en un réel
a de I.
La tangente à la courbe Cf au point A de
coordonnées (a ; f (a)) est la droite passant par A
et de coefficient directeur f ′ (a).
Remarque
On rappelle qu’une droite peut être définie par
la donnée de deux points ou par la donnée d’un
point et du coefficient directeur.
Exemple
On donne ci-contre la courbe représentative
d’une fonction f définie sur R, dérivable en −4,
ainsi que la tangente à cette courbe au point
d’abscisse −4 (en rouge).

Exemple
Le nombre dérivé f ′ (−4) est le coefficient
directeur de la tangente, que l’on détermine
par lecture graphique : m =

yC −yB
xC −xB

où B et C sont

deux points de la courbe.

Exemple
On peut également lire directement le coefficient
directeur (en prenant des points de la tangente à
coordonnées entières, ou facilement lisibles sur le
graphique).

Propriété
Équation de la tangente à une courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et
dérivable en un réel a de I.
La tangente à la courbe au point d’abscisse a a
pour équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
Exemple
On reprend l’exemple précédent.

Déterminer

une équation de la tangente à la courbe au point
d’abscisse −4.  
• On sait que f ′ (−4)

=

3 et on lit

graphiquement que f (−4) = 0.
• Alors f ′ (a)(x − a) + f (a) = 3(x − (−4)) + 0 =
3(x + 4) = 3x + 12.
• La tangente à la courbe au point d’abscisse
−4 a pour équation y = 3x + 12.
Remarque
Si la courbe admet en un réel a une tangente
parallèle à l’axe des abscisses (on parle souvent de
tangente horizontale), alors on a f ′ (a) = 0.