NOTION Sens-de-variation-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Dérivation

Lien entre dérivation et variations
Sens de variation d’une fonction
Propriété
Lien entre le signe de la dérivée et le sens de
variation d’une fonction
Soit f une fonction définie et dérivable sur un
intervalle I.
• si f ′ (x) ⩽ 0 sur I, alors f est décroissante sur
I;
• si f ′ (x) = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
• si f ′ (x) ⩾ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par f (x) =
−2×3 + 21×2 − 60x + 15.
Construire le tableau de variations de la fonction
f.  
• La fonction f est une fonction trinôme du
second degré, on calcule le discriminant
pour déterminer les éventuelles racines :
– ∆ = b2 − 4ac = 422 − 4 × (−6) × (−60) =
324 > 0
• On en déduit les racines :
– x1 =
– x2 =


−b− ∆
2a

−b− ∆
2a

=
=


−42− 324
2×(−6)

−42+ 324
2×(−6)

=

−42−18
−12

=5

=

−42+18
−12

=2

• On en déduit le signe de f (x) (cf. tableau
ci-contre)
• On calcule les images de 0, 2, 5 et 20 par f :
– f (0) = −2 × 03 + 21 × 02 − 60 × 0 + 15 = 15
• On obtient de même f (2) = −37, f (5) = −10
et f (20) = −8785.
• On obtient donc le tableau de variations de
la fonction f ci-contre.