NOTION Opérations-sur-les-fonctions-dérivées

Le 20-03-2019

Dérivation

Fonction dérivée
Opérations sur les fonctions dérivées
Propriété
Dérivée de la somme de deux fonctions
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur
un intervalle I.
Alors la fonction u + v est dérivable sur I et on a
(u + v)′ = u′ + v ′ (la dérivée d’une somme est égale
à la somme des dérivées).
Exemple
Dériver la fonction f définie sur R {0} par f (x) =
x3 + x2 + 2x + 4 + x1 .  
• f est somme de fonctions usuelles (vues
précédemment dans le tableau), donc f est
dérivable sur R {0}, et on a :
– f ′ (x) = 3×2 + 2x + 2 −

1
x2

Propriété
Dérivée de ku
Soit u, I et k un réel.
Alors la fonction ku est dérivable sur I et on a :
(ku)′ = k × u′
Exemple
Dériver la fonction f définie sur [1 ; 10] par f (x) =
−2×2 + 4x − x3 .  
• f est la somme de fonctions usuelles ou de
fonctions du type ku, donc f est dérivable sur
[1 ; 10]. On écrit alors :
– f (x) = −2 × x2 + 4x − 3 ×

1
x

(
)
– d’où f ′ (x) = −2 × 2x + 4 − 3 × − x12 =
−4x + 4 +

3
x2

Propriété
Dérivée d’un produit
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur
un intervalle I.
La fonction u × v est dérivable sur I et on a : (u ×
v)′ = u′ × v + u × v ′ .
Exemple
Soit f la fonction définie sur [2 ; 25] par f (x) =

(2×2 + 8x − 1) x.  
• On définit les fonctions u et v sur [2 ; 25] par

u(x) = 2×2 + 8x − 1 et v(x) = x
– On a ainsi f = u × v.
• Les fonctions u et v sont dérivables sur [2 ; 25],
donc la fonction f l’est égalemet. On a :
– u′ (x) = 2 × 2x + 8 = 4x + 8
– v ′ (x) =

 d’où

1

2 x

f ′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x)

= (4x + 8) x + (2×2 + 8x − 1) ×

1

2 x

• On pourrait simplifier l’écriture de f ′ (x), mais
ce n’est guère utile ici.
Propriété
Dérivées de l’inverse et du quotient
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables
sur un intervalle I.
On suppose de plus que la fonction v ne s’annule
pas sur I (pour tout réel x de I, on a v(x) ̸= 0).
Alors les fonctions v1 et uv sont dérivables sur I et
( 1 )′
′ ( )′


= − vv2 , uv = u v−uv
v
v2

Remarque
• Les propriétés permettent ainsi de justifier
que les fonctions polynômes sont dérivables
sur R et que les fractions rationnelles sont
dérivables sur leur ensemble de définition.
• Dans le cas des deux dernières formules, il ne
faut pas développer le dénominateur (cela
simplifiera l’étude du signe de la dérivée, et
cela évite certaines erreurs).
Exemple
Déterminer la dérivée des fonctions f et g définies
par f (x) =

1
x2 +4

et g(x) =

2x−8
3−x .

 

• Il faut d’abord déterminer l’ensemble de
définition (et donc de dérivabilité) des
fonctions f et g :
– Pour tout réel x, on a x2 ⩾ 0 donc x2 +
4 ⩾ 4 > 0 : la fonction x 7 −→ x2 + 4 ne
s’annule pas sur R, donc f est définie et
dérivable sur R.
– g(x) existe si 3 − x ̸= 0, donc la fonction g
est définie et dérivable sur R {3}.
 
• Fonction f
– On pose v(x) = x2 + 4, on a ainsi f = v1 .
– La fonction v est dérivable sur R avec
v(x) = 2x.
– On en déduit alors que pour tout réel x,

v (x)
2x
f ′ (x) = − (v(x))
2 = − (x2 +4)2 .

 
• Fonction g
– On pose u(x) = 2x − 8 et v(x) = 3 − x, de
sorte que f = uv .
– Les fonctions u et v sont dérivables sur
R {3} et u′ (x) = 2, v ′ (x) = −1.
– De plus, v ne s’annule pas sur R {3}.
– On a alors :

f ′ (x) =

u′ (x)v(x)−u(x)v ′ (x)
(v(x))2

=

2(3−x)−(2x−8)×(−1)
(3−x)2

=

6−2x+2x−8
(3−x)2

2
= − (3−x)
2