DEMO Étudier-les-variations-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Dérivation

Étudier les variations d’une fonction
Soit f la fonction définie sur [0 ; 25] par f (x) = 2×3 −39×2 +
252x − 150.
Dresser le tableau de variations de la fonction f sur
[0 ; 25].

Etape 1 : Calculer f ′ (x)
• La fonction f est une fonction polynôme, elle est
donc dérivable sur son ensemble de définition, ici
l’intervalle [0 ; 25].
• Pour tout x ∈ [0 ; 25], on a : f ′ (x) = 2 × 3×2 − 39 × 2x +
252 = 6×2 − 78x + 252.

Etape 2 : Étudier le signe de f ′ (x)
La fonction f ′ est une fonction trinôme du second degré,
on peut donc étudier son signe.
• On calcule le discriminant du trinôme 6×2 −78x+252
:
– ∆ = b2 −4ac = (−78)2 −4×6×252 = 6084−6048 =
36 > 0
• Le trinôme admet donc deux racines :


−b− ∆
2a

−b+ ∆
2a

=
=


−(−78)− 36
2×6

−(−78)+ 36
2×6

=

78−6
12

=6

=

78+6
12

=7

• On en déduit le signe de f ′ (x) (a = 6 > 0, ∆ > 0) :

Etape 3 : Déterminer les variations de f
• La fonction f ′ est négative sur [6 ; 7], donc f est
décroissante sur [6 ; 7].
• La fonction f ′ est positive sur [0 ; 6], donc f est
croissante sur [0 ; 6].
• La fonction f ′ est positive sur [7 ; 25], donc f est
croissante sur [7 ; 25].

Etape 4 : Construire le tableau de variations
de f
• On calcule les images de 0, 6, 7 et 25 par f :
– f (0) = 2 × 03 − 39 × 02 + 252 × 0 − 150 = −150
• On obtient de même f (6) = 390, f (7) = 389 et
f (25) = 13025.
• Finalement, la fonction f a pour tableau de
variations :