DEMO Déterminer-un-nombre-dérivé

Le 20-03-2019

Dérivation

Déterminer un nombre dérivé
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2×2 − 5x + 1.
Démontrer que la fonction f est dérivable en 2 et
calculer f ′ (2).

Etape 1 : Calculer le taux d’accroissement de
f entre 2 et 2 + h
Soit h un réel non nul. 
• On calcule d’abord f (2+h) et f (2) séparément pour
simplifier les calculs.
• f (2 + h) :
– = 2(2 + h)2 − 5(2 + h) + 1
– = 2(h2 + 4h + 4) − 10 − 5h + 1 car (A + B)2 =
A2 + 2AB + B 2
– = 2h2 + 8h + 8 − 10 − 5h + 1
– = 2h2 + 3h − 1
• f (2) :
– = 2 × 22 − 5 × 2 + 1
– = 2 × 4 − 10 + 1
– = 8 − 10 + 1
– = −1
• On en déduit alors que f (2 + h) − f (2) = 2h2 + 3h −
1 − (−1) = 2h2 + 3h.
• On termine le calcul du taux d’accroissement t(h) :
f (2+h)−f (2)
h

– t(h) =
– =

2h2 +3h
h

– =

2h2
h

3h
h

– = 2h + 3

Etape 2 :

Calculer la limite du taux

d’accroissement
• On donne des valeurs à h proches de 0, et on
regarde si le taux d’accroissement se rapproche
d’une valeur réelle fixe.

Etape 3 : Conclure
• Le tableau permet d’affirmer que lim

h→0

f (2+h)−f (2)
h

=

3.
• Par définition, la fonction f est dérivable en 2 et on
a f ′ (2) = 3.