DEMO Calculer-la-dérivée-d’un-quotient-de-deux-fonctions

Le 20-03-2019

Dérivation

Calculer la dérivée d’un quotient de
deux fonctions
x2 −3x+3
x2 −2x−8 .

Soit f la fonction définie par f (x) =

Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité
de la fonction f , puis calculer f ′ (x).

Etape 1 : Déterminer l’ensemble de définition
de la fonction f
• La fonction f est définie sur l’ensemble Df des réels
x vérifiant x2 − 2x − 8 ̸= 0.
• Pour

déterminer

cet

ensemble,

on

résout

l’équation x2 − 2x − 8 = 0, équation du second
degré.
• On calcule le discriminant de cette équation :
– ∆ = b2 −4ac = (−2)2 −4×1×(−8) = 4+32 = 36 > 0
• L’équation admet donc deux solutions :


−b− ∆
2a

−b+ ∆
2a

=
=


−(−2)− 36
2×1

−(−2)+ 36
2×1

=

2−6
2

= −2

=

2+6
2

=4

• La fonction f est donc définie sur Df = R {−2 ; 4}.

Etape

2

:

Déterminer

l’ensemble

de

dérivabilité de la fonction f
• Soit u et v les fonctions définies sur Df par : u(x) =
x2 − 3x + 3 et v(x) = x2 − 2x − 8.
• On a alors, pour x ∈ Df , f (x) =

u(x)
v(x)

• Les fonctions u et v sont dérivables sur Df , v ne
s’annule pas sur Df , donc f est dérivable sur Df =
R {−2 ; 4}.

Etape 3 : Calculer u′ (x) et v ′ (x)
• Soit x un réel appartenant à Df . On a alors u′ (x) =
2x − 3 et v ′ (x) = 2x − 2.

Etape 4 : Calculer f ′ (x)
• Pour tout réel x de Df , on a :

f ′ (x) =

u(x)v(x)−u(x)v(x)
(v(x))2

=

(2x−3)(x2 −2x−8)−(x2 −3x+3)(2x−2)
(x2 −2x−8)2

=

2×3 −4×2 −16x−3×2 +6x+24−(2×3 −2×2 −6×2 +6x+6x−6)
(x2 −2x−8)2

=

2×3 −7×2 −10x+24−(2×3 −8×2 +12x−6)
(x2 −2x−8)2

=

2×3 −7×2 −10x+24−2×3 +8×2 −12x+6
(x2 −2x−8)2

=

x2 −22x+30
(x2 −2x−8)2

• Attention,

on ne développe surtout pas le

dénominateur !