DEMO Calculer-la-dérivée-d’un-produit

Le 20-03-2019

Dérivation

Calculer la dérivée d’un produit
Soit f la fonction définie sur [1 ; 25] par f (x) = (−2×2 +

5x) x.
Déterminer f ′ (x).

Etape 1 :

Justifier que la fonction f est

dérivable sur [1 ; 25] • On pose, pour x ∈ [1 ; 25] : u(x) = −2×2 + 5x et v(x) =

x.
• On a ainsi f (x) = u(x) × v(x).
• Les fonctions u et v sont dérivables sur [1 ; 25], car
u est une fonction polynôme et v la fonction racine
carrée (l’ensemble de définition de f ne contient
pas 0).
• La fonction f est donc dérivable sur [1 ; 25] comme
produit de fonctions dérivables sur [1 ; 25].

Etape 2 : Calculer u′ (x) et v ′ (x)
• Les formules du cours donnent :
– u′ (x) = −2 × 2x + 5 = −4x + 5
– v ′ (x) =

1

2 x

Etape 3 : Calculer f ′ (x)
• Finalement, on a :

f ′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x)

= (−4x + 5) x + (−2×2 + 5x) ×

1

2 x

Etape 4 : Simplifier le résultat
• On simplifie le résultat, en sachant que x =


et x2 = x x × x, pour x ∈ [1 ; 25].
• D’où :


f ′ (x) = (−4x + 5) x + (−2×2 + 5x) ×


= −4x x + 5 x −

2x

2 x



= −4x x + 5 x −

√ √
x √x x
x

2

+

5x

2 x

+



5 x×
√ x
2 x





= −4x x + 5 x − x x + 52 x

= −5x x +

15 √
x
2

1

2 x



x× x