DEMO Calculer-la-dérivée-de-l’inverse-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Dérivation

Calculer la dérivée de l’inverse d’une
fonction
Soit f la fonction définie par f (x) =

1
x2 +4x+8 .

Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité
de la fonction f , et calculer f ′ (x).

Etape 1 : Déterminer l’ensemble de définition
Soit v la fonction définie par v(x) = x2 + 4x + 8.  
• f (x) existe si v(x) ̸= 0.
• La fonction v étant une fonction trinôme du second
degré, on cherche les réels x solutions de l’équation
du second degré v(x) = 0.
• On calcule le discriminant :
– ∆ = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × 8 = 16 − 32 = −16 < 0
• L’équation n’admet donc pas de solution, et on a
donc v(x) ̸= 0 pour tout réel x.
• Ainsi, la fonction f est définie sur R.

Etape

2

:

Déterminer

l’ensemble

de

dérivabilité
• La fonction v est dérivable sur R car c’est une
fonction polynôme, de plus v ne s’annule pas sur
R.
• La propriété sur la dérivabilité de l’inverse d’une
fonction permet d’affirmer que la fonction f est
alors dérivable sur R.

Etape 3 : Calculer v ′ (x)
• Pour tout réel x, on a v ′ (x) = 2x + 4.

Etape 4 : Calculer f ′ (x)
• La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel x,
on a :

v (x)
2x+4
– f ′ (x) = − (v(x))
2 = − (x2 +4x+8)2